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標題: 數(shù)學基礎發(fā)展史上的不同觀點與悖論 [打印本頁]
作者: dongfangqidong    時間: 2023-11-12 12:28
標題: 數(shù)學基礎發(fā)展史上的不同觀點與悖論
數(shù)學基礎發(fā)展史上的不同觀點與悖論
                編輯、點評李愛君、李天佑、奇東
    《古今數(shù)學思想》書中（第四冊45頁）：指出：“實數(shù)系的邏輯結構問題為十九世紀后葉所重視，無理數(shù)被認為是主要難點，然而無理數(shù)的意義與性質(zhì)的發(fā)展預先假定了有理數(shù)系的建立，對無理數(shù)理論不同的貢獻者來說，或則認為有理數(shù)已為眾所確認，無須什么基礎，或則認為只給出一些匆促而臨時應付的方案，…。（316頁）數(shù)學的第三種主要的哲學，稱為形式派（形式主義），它的領導人是希爾伯特，他從1904年開始從事于這種哲學工作，他在那時的動機是給數(shù)系提供一個不用集合論的基礎，并且確立算術相容性，因為他自己對于幾何的相容性的證明已約化成算術的相容性，算術的相容性就成了一個沒有解決的關鍵性問題，…?！?，超限歸納法也不是徹底解決了算術問題。
自亞里士多德直至高斯先生人們都不承認實無限而只承認潛無限，《古今數(shù)學思想》書中(第四冊59頁)指出：“Gauss（高斯）于1831年7月12日給Schumacher（舒馬赫）的信中說：我反對把一個無窮量當作實體，這在數(shù)學中是從來不允許的，無窮只是一種說話的方式，當人們確切地說到極限時，是指某些比值可以任意近地趨近它，而另一些則允許沒有界限地增加?！?，Canchy，如他前人一樣，不承認無窮集合的存在，因為部分能夠同整體構成一一對應這件事，在他看來是矛盾的。
    涉及集合的許多問題的爭論，是無休止的，并且卷入了形而上學的甚至是神學的辯論，大多數(shù)數(shù)學家對這個問題的態(tài)度是：不談他們自己所不能解決的問題，他們?nèi)急苊鈱嵲跓o窮集合的明確承認，盡管他們使用無窮級數(shù)與實數(shù)系，他們會說到直線上的點，但避免說直線是由無窮多個點構成的，這樣回避困難問題的方式是虛偽的，但這對于建立古典的分析確實足夠了，然而，當十九世紀面對在分析中建立嚴密性的問題時，關于無窮集合的許多問題就再也躲避不開了。
    《古今數(shù)學思想》第四冊（50～51）書中也對引進無理數(shù)的方法提出了不同看法和質(zhì)疑：“無理數(shù)的邏輯定義是頗有些不自然的，從邏輯上看，一個無理數(shù)不是簡單的一個符號，或一對符號，象兩個整數(shù)的比那樣，而是一個無窮的集合，如康托爾的基本序列或戴金的分割，邏輯地定義出來的無理數(shù)是一個智慧的怪物。
我們可以理解，為什么希臘人和許多后繼的數(shù)學家都覺得這樣的數(shù)難以掌握”。
  《古今數(shù)學思想》書中 (第四冊58頁) 指出：集合論里的中心難點是無窮集合這個概念本身，從希臘時代以來，這樣的集合很自然地引起數(shù)學界與哲學界的注意，而這種集合的本質(zhì)以及看來是矛盾的性質(zhì)，使得對這種集合的理解，沒有任何進展，Zenode的悖論可能是難點的第一個跡象，既不是直線的無限可分性，也不是直線作為一個由離散的點構成的無窮集合，足以對運動作出合理的結論。Aristotle（亞里士多德）考慮過無窮集合，例如整數(shù)集合，但他不承認一個無窮集合可以作為固定的整體而存在，對他來說，集合只能是潛在地無窮。
   《古今數(shù)學思想》第四冊（116頁）書中又說：“我們注意到，在過去曾經(jīng)精力旺盛地熱情地從事過的許多領域，曾被它們的擁護者譽為數(shù)學的精髓所在，其實只不過是一時的愛好，或者在整個數(shù)學的征途上只留下少許的影響。（二十世紀）上半世紀有信心的數(shù)學家們可能會認為他們的工作是最重要的，然而，他們的貢獻在數(shù)學史上的地位，現(xiàn)在還是不能確定的，等語言，”。
  羅素悖論、 康托爾悖論、數(shù)學基礎的“三大數(shù)學流派：
《古今數(shù)學思想》書中 (第四冊289頁) 指出：二十世紀數(shù)學中最為深入的活動，使關于基礎的探討，強加于數(shù)學家的問題，以及他們自愿承擔的問題，不僅牽涉到數(shù)學的本質(zhì)，也牽涉到演繹數(shù)學的正確性。
     在這世紀的前期，有幾種活動匯合起來把基礎問題引到一個高潮，首先是矛盾的發(fā)現(xiàn)，委婉地被稱為悖論，在集合論中尤為突出。……。
    《古今數(shù)學思想》書中 (第四冊290頁) 指出：“理發(fā)師的悖論”，羅素在1918年把一個悖論通俗化成為“理發(fā)師悖論”，一個鄉(xiāng)村理發(fā)師，自夸無人可與相比，宣稱他當然不給自己刮臉的人刮臉，但卻給所有自己不刮臉的人刮臉，一天他發(fā)生了疑問，他是否應當給自己刮臉，假如他自己刮臉的話，則按他聲言的前一半，他就不應當給自己刮臉；但是假如他自己不刮臉的話，則照他自夸的，他又必須給自己刮臉，這理發(fā)師陷入了邏輯的窘境。
   《古今數(shù)學思想》書中 (第四冊291～292頁) 指出： 康托爾在1899年給戴金的一封信中曾指出，人們要想不陷入矛盾的話就不能談論由一切集合所組成的集合（第41章第9節(jié)），實質(zhì)上這就是羅素的悖論的內(nèi)容（《數(shù)學原理》），由一切人組成的類不是一個人，但由一切概念組成的類卻是一個概念；有一切圖書館組成的類是一個圖書館；由一切基數(shù)大于1的集合組成的類也是這樣一個集合。因此，有一些類不是它們自己的元素，而有一些則是它們自己的元素。這個對于類的描述，包括了一切類，并且這兩種類型是互相排斥的，我們用M表示一切包含自己為元素的那些類所組成的類，用N表示一切不包含自己為元素的那些類所組成的類，現(xiàn)在，N本身也是一個類，我們要問它是屬于M還是屬于N？若N屬于N，則N就是它自己的一個元素，因而又必須屬于M，另一方面，若N為M的一個元素，則因M和N是互相排斥的類，N就不會屬于N，于是N不是它自己的元素，因而由于N的定義，它應當屬于N。
    所有這些悖論的起因，如羅素和懷特海指出的，都在于一個要定義的東西是用包含著這個東西在內(nèi)一類東西來定義的，這種定義也稱為說不清的，特別發(fā)生在集合論中，策梅羅在1908年曾指出，一組數(shù)的下界的定義，以及分析中其它一些概念的定義，都是這種類型的定義，因此經(jīng)典分析包含著悖論。
《古今數(shù)學思想》書中 (第四冊292頁) 指出：康托爾關于實數(shù)集合不可數(shù)的證明（第41章第7節(jié)）也用到了這樣一個說不清的集合，假定在所有正整數(shù)組成的集合與所有實數(shù)組成的集合M之間有一個一一對應，而每一個實數(shù)又對應于一組整數(shù)，于是每一個整數(shù)k都對應著一個集合f(k),而f(k)或是包含k或是不包含k，N為所有那些使k不屬于f(k)的k所組成的集合，這個集合N（取某一順序）為一個實數(shù)，因而，按假定的一一對應就應該有一個整數(shù)n對應于N，若n屬于N，則按N的定義，它將不屬于N；若n不屬于N，則按N的定義，它又應屬于N，集合N的定義是說不清的，這是因為要k屬于N，必須且只需在M中有一個集合K使K=f(k)并且k不屬于K,這樣，在定義N時就用到了一些集合的全體M，它包含著N作為元素，這就是說要定義N，N必須已經(jīng)包含在M中。
     在無意中陷入了引進說不清的定義的陷阱，這是很容易的。……。
   
    《古今數(shù)學思想》第四冊（320~321頁）書中又指出：“不完備性的不足之處就在于，形式系統(tǒng)還不足以用來證明所有在系統(tǒng)中可以作出的判斷。損傷更兼屈辱，系統(tǒng)中存在著這樣的判斷，它們是不可斷定的但在直觀上又是真的，等語句，因為哥得爾證明了，包括著數(shù)論的任何系統(tǒng)都必定含有不可斷定的命題。這樣，盡管布勞維已經(jīng)弄清楚了，直觀上明確的東西不及數(shù)學上證明了的東西多；哥德爾卻證明了，直觀的正確會超過數(shù)學的證明，”等語句。
   《古今數(shù)學思想》書中 (第四冊322~323頁) 指出：“對于數(shù)學基礎的根本問題所提出的解答——（康托爾、等等先生的）經(jīng)典集合論公理化，（羅素、懷特海）邏輯主義、（克羅內(nèi)克、布勞維）直覺主義、（希爾伯特）形式主義——都沒有達到目的，沒有對數(shù)學提供一個可以普遍接受的徑。在哥德爾1931年的工作以后的發(fā)展，也沒有在實質(zhì)上改變這種狀況，…；該書中又指出：韋爾對數(shù)學的現(xiàn)狀作了恰當?shù)拿枋觯宏P于數(shù)學最終基礎和最終意義的問題還是沒有解決，我們不知道向哪里去找它的最后解答，…”,這就是純粹數(shù)學的基本現(xiàn)狀。
   《古今數(shù)學思想》書中 (第四冊323~324頁) 指出：1930年以后的全部發(fā)展還留下來兩個沒有解決的大問題：去證明不加限制的經(jīng)典分析與集合論的相容性，以及在嚴格直觀的根基上去建立數(shù)學，或者去確定這種途徑的限度，在這兩個問題中，困難的根源都在于無窮集合和無限程序中所用到的無窮這個概念，即使對于希臘人也應經(jīng)在無理數(shù)上造成了問題，而且他們在窮竭法中躲開它。從那以后，無窮這個概念一直是爭論的地題目，并使韋爾說道，數(shù)學是無限的科學。
    關于數(shù)學的適當邏輯基礎的問題，特別是直觀主義的興起，在某種較廣的意義上，顯示出數(shù)學走了一個圓圈。這門學科是在直觀的和經(jīng)驗的基礎上起始的，嚴密性在希臘時代就變成了一個目標，雖說到十九世紀以前在受到?jīng)_擊時仍更加受到尊重，它似乎就要達到了，但是，過分追求嚴密性，將引入絕境而失去它的真正意義，數(shù)學仍是活躍而富有生命力的，但是它只能建立在實用的基礎上。
  自亞里士多德直至高斯先生人們都不承認實無限而只承認潛無限，引進實無限數(shù)學理論大多數(shù)專家似乎舍棄了潛無限數(shù)學理論，實無限排斥潛無限、潛無限也排斥實無限，事實上互相排斥，必明確指出承認接受潛無限理論千萬莫排斥掉了實無限數(shù)學理論，承認接受實無限千萬莫排斥丟掉了潛無限的數(shù)學理論，…。
    《古今數(shù)學思想》第四冊書中（313頁）也指出：“…，數(shù)學中最重要的進展都不是由于要把邏輯形式完美化而得到的，而是由于基本理論本身的變革，是邏輯依靠數(shù)學，而不是數(shù)學依靠邏輯?！?/font>
    產(chǎn)生邏輯悖論的主要原因：總而言之，試圖讓邏輯包羅萬象、竭盡所有，特殊矛盾與普遍矛盾不加以人為區(qū)分試圖共享一個邏輯，謬誤與真理不加以人為區(qū)分試圖共享一個邏輯，必定遭遇邏輯悖論而不可思議，因為再好的邏輯自身不會加以區(qū)分和限制，數(shù)學基礎發(fā)展史上不乏其例，比如“鄉(xiāng)村理發(fā)師”的邏輯悖論（邏輯比喻）,就是一個特殊矛盾與普遍矛盾不加以區(qū)分的典型例子，“理發(fā)師”他自己是特殊矛盾，他必須唯一地將自己排除在外，具體問題具體分析…等等；（數(shù)學中也有范例可舉，例如在數(shù)理邏輯中：m/n,式中n≠0，n=0是特殊矛盾，所以在該式中數(shù)理邏輯將n=0排斥在外，人為處理得恰到好處），世上無十全十美的萬能邏輯供我們?nèi)祟愡x擇與使用，…。





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