數(shù)學(xué)基礎(chǔ)發(fā)展史上的不同觀點(diǎn)與悖論

dongfangqidong(dongfangqidong)

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)發(fā)展史上的不同觀點(diǎn)與悖論

                編輯、點(diǎn)評(píng)李愛君、李天佑、奇東

    《古今數(shù)學(xué)思想》書中（第四冊(cè)45頁(yè)）：指出：“實(shí)數(shù)系的邏輯結(jié)構(gòu)問題為十九世紀(jì)后葉所重視，無理數(shù)被認(rèn)為是主要難點(diǎn)，然而無理數(shù)的意義與性質(zhì)的發(fā)展預(yù)先假定了有理數(shù)系的建立，對(duì)無理數(shù)理論不同的貢獻(xiàn)者來說，或則認(rèn)為有理數(shù)已為眾所確認(rèn)，無須什么基礎(chǔ)，或則認(rèn)為只給出一些匆促而臨時(shí)應(yīng)付的方案，…。（316頁(yè)）數(shù)學(xué)的第三種主要的哲學(xué)，稱為形式派（形式主義），它的領(lǐng)導(dǎo)人是希爾伯特，他從1904年開始從事于這種哲學(xué)工作，他在那時(shí)的動(dòng)機(jī)是給數(shù)系提供一個(gè)不用集合論的基礎(chǔ)，并且確立算術(shù)相容性，因?yàn)樗约簩?duì)于幾何的相容性的證明已約化成算術(shù)的相容性，算術(shù)的相容性就成了一個(gè)沒有解決的關(guān)鍵性問題，…?！?，超限歸納法也不是徹底解決了算術(shù)問題。

自亞里士多德直至高斯先生人們都不承認(rèn)實(shí)無限而只承認(rèn)潛無限，《古今數(shù)學(xué)思想》書中(第四冊(cè)59頁(yè))指出：“Gauss（高斯）于1831年7月12日給Schumacher（舒馬赫）的信中說：我反對(duì)把一個(gè)無窮量當(dāng)作實(shí)體，這在數(shù)學(xué)中是從來不允許的，無窮只是一種說話的方式，當(dāng)人們確切地說到極限時(shí)，是指某些比值可以任意近地趨近它，而另一些則允許沒有界限地增加?！?，Canchy，如他前人一樣，不承認(rèn)無窮集合的存在，因?yàn)椴糠帜軌蛲w構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)這件事，在他看來是矛盾的。

    涉及集合的許多問題的爭(zhēng)論，是無休止的，并且卷入了形而上學(xué)的甚至是神學(xué)的辯論，大多數(shù)數(shù)學(xué)家對(duì)這個(gè)問題的態(tài)度是：不談他們自己所不能解決的問題，他們?nèi)急苊鈱?duì)實(shí)在無窮集合的明確承認(rèn)，盡管他們使用無窮級(jí)數(shù)與實(shí)數(shù)系，他們會(huì)說到直線上的點(diǎn)，但避免說直線是由無窮多個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的，這樣回避困難問題的方式是虛偽的，但這對(duì)于建立古典的分析確實(shí)足夠了，然而，當(dāng)十九世紀(jì)面對(duì)在分析中建立嚴(yán)密性的問題時(shí)，關(guān)于無窮集合的許多問題就再也躲避不開了。

    《古今數(shù)學(xué)思想》第四冊(cè)（50～51）書中也對(duì)引進(jìn)無理數(shù)的方法提出了不同看法和質(zhì)疑：“無理數(shù)的邏輯定義是頗有些不自然的，從邏輯上看，一個(gè)無理數(shù)不是簡(jiǎn)單的一個(gè)符號(hào)，或一對(duì)符號(hào)，象兩個(gè)整數(shù)的比那樣，而是一個(gè)無窮的集合，如康托爾的基本序列或戴金的分割，邏輯地定義出來的無理數(shù)是一個(gè)智慧的怪物。

我們可以理解，為什么希臘人和許多后繼的數(shù)學(xué)家都覺得這樣的數(shù)難以掌握”。

  《古今數(shù)學(xué)思想》書中 (第四冊(cè)58頁(yè)) 指出：集合論里的中心難點(diǎn)是無窮集合這個(gè)概念本身，從希臘時(shí)代以來，這樣的集合很自然地引起數(shù)學(xué)界與哲學(xué)界的注意，而這種集合的本質(zhì)以及看來是矛盾的性質(zhì)，使得對(duì)這種集合的理解，沒有任何進(jìn)展，Zenode的悖論可能是難點(diǎn)的第一個(gè)跡象，既不是直線的無限可分性，也不是直線作為一個(gè)由離散的點(diǎn)構(gòu)成的無窮集合，足以對(duì)運(yùn)動(dòng)作出合理的結(jié)論。Aristotle（亞里士多德）考慮過無窮集合，例如整數(shù)集合，但他不承認(rèn)一個(gè)無窮集合可以作為固定的整體而存在，對(duì)他來說，集合只能是潛在地?zé)o窮。

   《古今數(shù)學(xué)思想》第四冊(cè)（116頁(yè)）書中又說：“我們注意到，在過去曾經(jīng)精力旺盛地?zé)崆榈貜氖逻^的許多領(lǐng)域，曾被它們的擁護(hù)者譽(yù)為數(shù)學(xué)的精髓所在，其實(shí)只不過是一時(shí)的愛好，或者在整個(gè)數(shù)學(xué)的征途上只留下少許的影響。（二十世紀(jì)）上半世紀(jì)有信心的數(shù)學(xué)家們可能會(huì)認(rèn)為他們的工作是最重要的，然而，他們的貢獻(xiàn)在數(shù)學(xué)史上的地位，現(xiàn)在還是不能確定的，等語言，”。

  羅素悖論、 康托爾悖論、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的“三大數(shù)學(xué)流派：

《古今數(shù)學(xué)思想》書中 (第四冊(cè)289頁(yè)) 指出：二十世紀(jì)數(shù)學(xué)中最為深入的活動(dòng)，使關(guān)于基礎(chǔ)的探討，強(qiáng)加于數(shù)學(xué)家的問題，以及他們自愿承擔(dān)的問題，不僅牽涉到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，也牽涉到演繹數(shù)學(xué)的正確性。

     在這世紀(jì)的前期，有幾種活動(dòng)匯合起來把基礎(chǔ)問題引到一個(gè)高潮，首先是矛盾的發(fā)現(xiàn)，委婉地被稱為悖論，在集合論中尤為突出。……。

    《古今數(shù)學(xué)思想》書中 (第四冊(cè)290頁(yè)) 指出：“理發(fā)師的悖論”，羅素在1918年把一個(gè)悖論通俗化成為“理發(fā)師悖論”，一個(gè)鄉(xiāng)村理發(fā)師，自夸無人可與相比，宣稱他當(dāng)然不給自己刮臉的人刮臉，但卻給所有自己不刮臉的人刮臉，一天他發(fā)生了疑問，他是否應(yīng)當(dāng)給自己刮臉，假如他自己刮臉的話，則按他聲言的前一半，他就不應(yīng)當(dāng)給自己刮臉；但是假如他自己不刮臉的話，則照他自夸的，他又必須給自己刮臉，這理發(fā)師陷入了邏輯的窘境。

   《古今數(shù)學(xué)思想》書中 (第四冊(cè)291～292頁(yè)) 指出： 康托爾在1899年給戴金的一封信中曾指出，人們要想不陷入矛盾的話就不能談?wù)撚梢磺屑纤M成的集合（第41章第9節(jié)），實(shí)質(zhì)上這就是羅素的悖論的內(nèi)容（《數(shù)學(xué)原理》），由一切人組成的類不是一個(gè)人，但由一切概念組成的類卻是一個(gè)概念；有一切圖書館組成的類是一個(gè)圖書館；由一切基數(shù)大于1的集合組成的類也是這樣一個(gè)集合。因此，有一些類不是它們自己的元素，而有一些則是它們自己的元素。這個(gè)對(duì)于類的描述，包括了一切類，并且這兩種類型是互相排斥的，我們用M表示一切包含自己為元素的那些類所組成的類，用N表示一切不包含自己為元素的那些類所組成的類，現(xiàn)在，N本身也是一個(gè)類，我們要問它是屬于M還是屬于N？若N屬于N，則N就是它自己的一個(gè)元素，因而又必須屬于M，另一方面，若N為M的一個(gè)元素，則因M和N是互相排斥的類，N就不會(huì)屬于N，于是N不是它自己的元素，因而由于N的定義，它應(yīng)當(dāng)屬于N。

    所有這些悖論的起因，如羅素和懷特海指出的，都在于一個(gè)要定義的東西是用包含著這個(gè)東西在內(nèi)一類東西來定義的，這種定義也稱為說不清的，特別發(fā)生在集合論中，策梅羅在1908年曾指出，一組數(shù)的下界的定義，以及分析中其它一些概念的定義，都是這種類型的定義，因此經(jīng)典分析包含著悖論。

《古今數(shù)學(xué)思想》書中 (第四冊(cè)292頁(yè)) 指出：康托爾關(guān)于實(shí)數(shù)集合不可數(shù)的證明（第41章第7節(jié)）也用到了這樣一個(gè)說不清的集合，假定在所有正整數(shù)組成的集合與所有實(shí)數(shù)組成的集合M之間有一個(gè)一一對(duì)應(yīng)，而每一個(gè)實(shí)數(shù)又對(duì)應(yīng)于一組整數(shù)，于是每一個(gè)整數(shù)k都對(duì)應(yīng)著一個(gè)集合f(k),而f(k)或是包含k或是不包含k，N為所有那些使k不屬于f(k)的k所組成的集合，這個(gè)集合N（取某一順序）為一個(gè)實(shí)數(shù)，因而，按假定的一一對(duì)應(yīng)就應(yīng)該有一個(gè)整數(shù)n對(duì)應(yīng)于N，若n屬于N，則按N的定義，它將不屬于N；若n不屬于N，則按N的定義，它又應(yīng)屬于N，集合N的定義是說不清的，這是因?yàn)橐猭屬于N，必須且只需在M中有一個(gè)集合K使K=f(k)并且k不屬于K,這樣，在定義N時(shí)就用到了一些集合的全體M，它包含著N作為元素，這就是說要定義N，N必須已經(jīng)包含在M中。

     在無意中陷入了引進(jìn)說不清的定義的陷阱，這是很容易的。……。

   

    《古今數(shù)學(xué)思想》第四冊(cè)（320~321頁(yè)）書中又指出：“不完備性的不足之處就在于，形式系統(tǒng)還不足以用來證明所有在系統(tǒng)中可以作出的判斷。損傷更兼屈辱，系統(tǒng)中存在著這樣的判斷，它們是不可斷定的但在直觀上又是真的，等語句，因?yàn)楦绲脿栕C明了，包括著數(shù)論的任何系統(tǒng)都必定含有不可斷定的命題。這樣，盡管布勞維已經(jīng)弄清楚了，直觀上明確的東西不及數(shù)學(xué)上證明了的東西多；哥德爾卻證明了，直觀的正確會(huì)超過數(shù)學(xué)的證明，”等語句。

   《古今數(shù)學(xué)思想》書中 (第四冊(cè)322~323頁(yè)) 指出：“對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的根本問題所提出的解答——（康托爾、等等先生的）經(jīng)典集合論公理化，（羅素、懷特海）邏輯主義、（克羅內(nèi)克、布勞維）直覺主義、（希爾伯特）形式主義——都沒有達(dá)到目的，沒有對(duì)數(shù)學(xué)提供一個(gè)可以普遍接受的徑。在哥德爾1931年的工作以后的發(fā)展，也沒有在實(shí)質(zhì)上改變這種狀況，…；該書中又指出：韋爾對(duì)數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀作了恰當(dāng)?shù)拿枋觯宏P(guān)于數(shù)學(xué)最終基礎(chǔ)和最終意義的問題還是沒有解決，我們不知道向哪里去找它的最后解答，…”,這就是純粹數(shù)學(xué)的基本現(xiàn)狀。

   《古今數(shù)學(xué)思想》書中 (第四冊(cè)323~324頁(yè)) 指出：1930年以后的全部發(fā)展還留下來兩個(gè)沒有解決的大問題：去證明不加限制的經(jīng)典分析與集合論的相容性，以及在嚴(yán)格直觀的根基上去建立數(shù)學(xué)，或者去確定這種途徑的限度，在這兩個(gè)問題中，困難的根源都在于無窮集合和無限程序中所用到的無窮這個(gè)概念，即使對(duì)于希臘人也應(yīng)經(jīng)在無理數(shù)上造成了問題，而且他們?cè)诟F竭法中躲開它。從那以后，無窮這個(gè)概念一直是爭(zhēng)論的地題目，并使韋爾說道，數(shù)學(xué)是無限的科學(xué)。

    關(guān)于數(shù)學(xué)的適當(dāng)邏輯基礎(chǔ)的問題，特別是直觀主義的興起，在某種較廣的意義上，顯示出數(shù)學(xué)走了一個(gè)圓圈。這門學(xué)科是在直觀的和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上起始的，嚴(yán)密性在希臘時(shí)代就變成了一個(gè)目標(biāo)，雖說到十九世紀(jì)以前在受到?jīng)_擊時(shí)仍更加受到尊重，它似乎就要達(dá)到了，但是，過分追求嚴(yán)密性，將引入絕境而失去它的真正意義，數(shù)學(xué)仍是活躍而富有生命力的，但是它只能建立在實(shí)用的基礎(chǔ)上。

  自亞里士多德直至高斯先生人們都不承認(rèn)實(shí)無限而只承認(rèn)潛無限，引進(jìn)實(shí)無限數(shù)學(xué)理論大多數(shù)專家似乎舍棄了潛無限數(shù)學(xué)理論，實(shí)無限排斥潛無限、潛無限也排斥實(shí)無限，事實(shí)上互相排斥，必明確指出承認(rèn)接受潛無限理論千萬莫排斥掉了實(shí)無限數(shù)學(xué)理論，承認(rèn)接受實(shí)無限千萬莫排斥丟掉了潛無限的數(shù)學(xué)理論，…。

    《古今數(shù)學(xué)思想》第四冊(cè)書中（313頁(yè)）也指出：“…，數(shù)學(xué)中最重要的進(jìn)展都不是由于要把邏輯形式完美化而得到的，而是由于基本理論本身的變革，是邏輯依靠數(shù)學(xué)，而不是數(shù)學(xué)依靠邏輯。”

    產(chǎn)生邏輯悖論的主要原因：總而言之，試圖讓邏輯包羅萬象、竭盡所有，特殊矛盾與普遍矛盾不加以人為區(qū)分試圖共享一個(gè)邏輯，謬誤與真理不加以人為區(qū)分試圖共享一個(gè)邏輯，必定遭遇邏輯悖論而不可思議，因?yàn)樵俸玫倪壿嬜陨聿粫?huì)加以區(qū)分和限制，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)發(fā)展史上不乏其例，比如“鄉(xiāng)村理發(fā)師”的邏輯悖論（邏輯比喻）,就是一個(gè)特殊矛盾與普遍矛盾不加以區(qū)分的典型例子，“理發(fā)師”他自己是特殊矛盾，他必須唯一地將自己排除在外，具體問題具體分析…等等；（數(shù)學(xué)中也有范例可舉，例如在數(shù)理邏輯中：m/n,式中n≠0，n=0是特殊矛盾，所以在該式中數(shù)理邏輯將n=0排斥在外，人為處理得恰到好處），世上無十全十美的萬能邏輯供我們?nèi)祟愡x擇與使用，…。